#  Ex 1  em R
#
# 1.   f(x)=4x^3,for0<x<1

#  a) verificar que é f.d.p

x = seq(0,1,0.1)
f = function(x) 4*x**3
a = integrate(f, 0, 1)
a$value == 1             # verifica se é pdf

#  b) 


NS=1000 ; set.seed(1);
u=runif(NS)
amostra.ex1=u^(1/4)
mean(amostra.ex1)
sd(amostra.ex1)


g=function(x) 4*x**4
h=function(x) 4*x**5
media.ex1=integrate(g, 0, 1)$value
desvio.ex1=sqrt(integrate(h, 0, 1)$value-media.ex1^2)
cat("o valor médio de X é ",media.ex1," e o desvio padrão de X é ",desvio.ex1,".")

media.ex1-mean(amostra.ex1)
desvio.ex1-sd(amostra.ex1)

hist(amostra.ex1, main = "Histograma da amostra vs curva da função densidade probabilidade", border = "blue", col = "green", breaks = 20, prob =TRUE)
lines(density(amostra.ex1), col = "red") # Red line shows the sample density
lines(x, f(x), col = "blue")           # Blue line represents the theoretical density